मुझे समस्या का समाधान मिल गया। सर्वर फ़ील्ड में मुझे बिना किसी SQLEXPRESS या MSSQLSERVER के "SERVERNAME\" डालना पड़ा। जैसा कि @sgmoore द्वारा बताया गया है, मैं बस "LOCALHOST" या "SERVERNAME" टाइप कर सकता था और यह कनेक्ट हो गया। स्पष्ट रूप से यह SQL सर्वर सुविधा/बग है, LINQPad से कोई लेना-देना नहीं है।
यूपीडी आप भी उपयोग कर सकते हैं "।" "लोकलहोस्ट" को दर्शाने के लिए