अगर मैं आपको सही ढंग से समझता हूं, तो चयनित मान अल्पविराम से अलग स्ट्रिंग में संग्रहीत होते हैं और संख्याएं वे मान होती हैं जहां पहले चुना गया था।
उस स्थिति में उत्तर सरल है:
<select name="w_owning_branches[]" size="10" id="w_owning_branches" multiple="multiple" required>
<option value="" class="dropdown-option"> Select Owning Branch </option>
<?php do {
$value = $row_branches['branch_id'];
$name = $row_branches['name'];
$selected = '1,2,3,4,5,6';
echo "<option value='$value'".(in_array($value, explode(",",$selected)) ? " selected='selected'":"").">$name</option>";
} while ($row_branches = mysql_fetch_assoc($branches)); ?>
</select>